第一章 行列式
二阶与三阶行列式
行列式的性质
*性质 1 行列式与它的转置行列式相等. *
*性质 2 对换行列式的两行（列） ， 行列式变号 *
推论 如果行列式两行(列)完全相同，则此行列式为0
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于k乘以这个行列式
推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
性质4 行列式中如果有两行（列） 元素成比例， 则此行列式等于零
性质5 若行列式的某一行（列） 的元素都是两数之和， 例如第 i 行的元素都是两数之和
性质 6 把行列式的某一行（列） 的各元素乘同一数然后加到另一行（列） 对
应的元素上去， 行列式不变
逆序数
对于 n 个不同的元素， 先规定各元素之间有一个标准次序（例如 n 个不同的
自然数， 可规定由小到大为标准次序）， 于是在这 n 个元素的任一排列中， 当某一
对元素的先后次序与标准次序不同时， 就说它构成 1 个逆序.一个排列中所有逆
序的总数叫做这个排列的逆序数
上三角法求矩阵
等于主对角线的乘积
行列式按行(列)展开
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
行列式某一行（列） 的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式
乘积之和等于零
矩阵
当常数项 b1， b2， …， bm 不全为零时， 线性方程组（1） 叫做n元非齐次线性方程组.
n 元齐次线性方程组
n 元齐次线性方程组一定有零解，可能有非零解
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵
只有一行的矩阵A =（a1，a2… an）称为行矩阵， 又称行向量.
只有一列的矩阵称为列矩阵， 又称列向量*.
A 称为系数矩阵， x 称为未知数矩阵， b 称为常数项矩阵， B 称为增广矩阵
对角矩阵， 简称对角阵.对角阵也记作:
$$
A = diag（λ1， λ2， …， λn）
$$
位矩阵， 简称单位阵
矩阵运算
矩阵加法
（i） A +B = B +A；
（ii） （A +B） + C = A +（B +C）
数与矩阵相乘
（i） （λμ)A =λ（μA） ；
（ii） （λ +μ） A =λA +μA；
（iii） λ（A +B） =λA +λ B.
矩阵乘矩阵
定义4 设A=（ai）j 是一个m×s矩阵， B=（bi）j 是一个s×n矩阵， 那么规定矩
阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 C =（cij）
必须注意： 只有当第一个矩阵（左矩阵） 的列数等于第二个矩阵（右矩阵） 的
行数时， 两个矩阵才能相乘
*总之， 矩阵的乘法不满足交换律， 即在一般情形下， A B≠ BA *
$$
（i） （A B） C = A（B C） ；
$$
$$
（ii） λ（A B） =（λA） B = A（λB） （其中λ 为数） ；
$$
$$
（iii） A（B + C） = A B +A C， （B + C） A = BA + CA.
$$
$$
对于单位矩阵 E， 容易验证E m A m × n = A m × n， A m × n E n = A m × n，或简写成E A = A E = A .
$$
矩阵的幂
$$
A kA l = A k+l， （A k） l = A kl
$$
$$
又因矩阵乘法一般不满足交换律， 所以对于两个 n 阶矩阵 A与 B， 一般说来（A B） k≠ A k B k， 只有当 A 与 B 可交换时， 才有（A B） k = A k B k
$$
例如（A +B） 2 = A 2 +2A B + B 2、 （A - B） （A + B） = A 2 - B 2 等公式， 也只有当 A与 B 可交换时才成立
